傅里叶变换的理解

最先接触傅里叶是在高等数学这门课上，由于高等数学上下册是两个老师带的课，在学习傅里叶级数的时候，再一次想起上学期老师说过的一句话——数学是一门形式科学，傅里叶级数的思想就是把一个函数看做是基函数的复合（这里的复合指的是线性叠加）。我们平时在定义一个函数的时候都是变量与自变量的关系，例如y=sin(t)、y=10等等，但是完全可以把一个函数当做是几个基函数的叠加。从最简单的例子开始，如y=10这个函数，可以看做是关于t的变量，但是也可以看做是有y0=1、y1=2、y2=4、y3=8的叠加，例如叠加方式1:y=y1+y3、叠加方式2:y=2y0+2y1+y2，这是最简单的形式。那么以此推断是否任意的函数都可以看做是由正弦基函数复合而成呢？这就是傅里叶级数的思想。

那傅里叶级数与傅里叶变换什么关系呢？上面的例子可以看出来，线性叠加的每项都有系数，这个系数就是傅里叶变换。

再来谈谈一维傅里叶变换与二维傅里叶变换。

一维傅里叶变换就想刚才说过的。函数可以看做是有正弦基函数复合而成的。

二维傅里叶变换的思想是什么呢？就是一个曲面是有基曲面复合而成，或者说一个图像是有基图像复合而成。那关键的问题是基图像都有哪些呢？由二维傅里叶变换公式可以看出来基图像是z=sin(x)、z=sin(y)、z=sin(x+y)、z=sin(2x+y)、z=sin(x+2y)等等，在matlab中绘制图像如下:

再来思考，为什么对图像进行高频滤波会使图像失去细节信息呢？个人理解是这样的，可以把图像的三维灰度图看做是一个雕塑，并且这个三维灰度图就像一座现实中的山。这个雕塑的制作过程呢？我不懂雕塑的过程，但是我想可以按照以下的方法制作，1、先雕刻一个大概的山形。2、再雕刻山上某些突出的石头等细节。这样理解的话，这些石头不就可以看做是高频（也就是说变化的快，在空间上看就是波峰与波谷的距离更小）的基图像吗，这也就是为什么高频滤波后，将会失去这个山峰的细节部分（就相当于去掉的第二部）。

ok！先写这么多吧，真是感觉傅里叶变换很有意思

另外，对于高斯滤波平滑图像的理解，首先滤波的理解：去掉某些频率的波，由于高斯滤波器的低通性质，所以高斯滤波去掉了高频部分，从而使图像平滑，所以图像中的噪点是高频部分，另一个角度，噪点的变化频率快（注意从频率这个角度考虑），所以是高频部分。